Charles Babbage (1791-1871) era professore di matematica all'università di Cambridge ed esperto di costruzioni ferroviarie, tanto che venne chiamato anche in Italia per risolvere alcuni problemi della linea Torino-Genova. Fu inventore  di due macchine calcolatrici: La macchina alle differenze, e la macchina analitica. Contrariamente a quanto era avvenuto fino ad allora, Babbage non si proponeva tanto di realizzare delle macchine calcolatrici in grado di eseguire le 4 operazioni, ma dei calcolatori concettualmente simili a quelli moderni: in grado di eseguire sequenze di operazioni in base a un programma.

La sua prima macchina, quella alle differenze, era nata con l' esigenza di calcolare tavole astronomiche dove, per la precisione richiesta, Babbage aveva pensato anche ad un sistema di stampa per evitare errori umani di trascrizione. Per comprendere i principi del calcolo di tabelle mediante il metodo delle  differenze utilizzato da questa macchina (nella fotografia qui a destra è rappresentato un modello ricostruito presso il Museo della Scienza di Londra seguendo il progetto del 1849, di cui si hanno tutti i disegni.  Il dispositivo funziona perfettamente e  mette in evidenza  la  genialità del progetto di Babbage) possiamo basarci sulla descrizione fatta dallo stesso Babbage che immagina di spiegarlo ad un ragazzo che sta giocando con delle biglie:

BABBAGE E I NUMERI TRIANGOLARI

Immaginiamo di disporre delle biglie in fila:

Collochiamo poi altre due biglie sotto ad ogni biglia partendo dalla seconda

Poi  tre biglie sotto ad ogni mucchietto partendo dal terzo ...... e così via

1	2	3	4	5
1	3	6	10	15

Alla fine si ottengono dei mucchietti triangolari, ciascuno dei quali ha un numero uguale di biglie su ognuno dei tre lati.  Si nota anche che, ad ogni triangolo successivo, la lunghezza del lato aumenta di una biglia.

Osserviamo la linea dei numeri  per trovarvi la disposizione dei TRIANGOLARI:

0  1  2  3  4  5  6   7  8  9  10  11  12   13  14  15  16

|+1 |  +2   |     +3      |      +4          |               +5                  |          

REGOLA:  i numeri triangolari sono ottenuti dalla somma dei successivi numeri naturali

A questo punto potremmo chiederci se sia possibile calcolare quante biglie troveremmo ad esempio nel ventesimo mucchietto (senza sommare tutti i numeri da 1 a 20) . Per capirlo possiamo rappresentare la situazione in una tabella:

La differenza prima si calcola togliendo ad un mucchio il numero delle biglie del mucchio precedente:
nell' esempio 10 - 6 = 4 (e corrisponde al numero d' ordine del mucchietto)

La differenza seconda togliendo dalla differenza prima di un mucchietto quella del mucchietto precedente:
nell' esempio 4 - 3 = 1 (si noti che le differenze seconde sono tutte uguali ad uno)

Da questo possiamo ricavare la regola generale che permette di calcolare il numero di biglie di un mucchietto qualsiasi:

Per calcolare ad esempio il numero di biglie del quarto mucchietto (quello preso finora ad esempio) basta:

1) prendere il suo numero d' ordine:      4
2) aggiungervi   1

4 + 1 = 5

3) moltiplicarli tra di loro  4  x  5  =  20
4) dividere il risultato per due  20 :  2  =  10  ( che è il numero cercato)

Se ne ricava la seguente equazione:   X= N . (N + 1) : 2

Si comprende come, per il calcolo dei numeri triangolari, il procedimento sia sempre lo stesso e cambino solamente i numeri di partenza.

La risoluzione di questa equazione (parliamo della equazione per il calcolo dei numeri triangolari, presa come esempio, ma il principio è valido per tutte le equazioni) necessita di eseguire una moltiplicazione e una divisione, cosa che Babbage voleva evitare.
Utilizzando il metodo delle differenze è invece possibile calcolare una tabella per i numeri triangolari (e per qualsiasi altra equazione) servendosi della sola addizione e ricordando i risultati precedenti (la sua macchina in effetti eseguiva solo addizioni e ricordava i risultati di ogni operazione per riutilizzarli nella successiva); ricordiaamo che a Babbage interessava il calcolo di tabelle e non un singolo risultato.

Ecco come procedeva il calcolo:

1) Dalle differenze seconde (che sono costanti) si calcolano le differenze prime:

1+1=2 +1=3 +1=4 +1=5 ....

2) Dalle differenze prime si calcola il valore della funzione:

1+2=3 +3 =6 +4=10 +5=15 ....

Questo principio fu applicato da Babbage alla sua macchina che per questo motivo fu definita: " DIFFERENZIALE" o  ALLE DIFFERENZE.

Eccoti una moderna MACCHINA DIFFERENZIALE che calcola i numeri triangolari

Visto che abbiamo parlato di numeri triangolari ecco alcune digressioni interessanti...

NUMERI TRIANGOLARI E NUMERI QUADRATI

1	+	3	+	6	+	10
		||		||		||
1		4		9		16

I numeri quadrati si ottengono dalla somma dei numeri triangolari

POSSIAMO RAPPRESENTARE I NUMERI QUADRATI ANCHE COSI'

Dove si nota che ogni numero quadrato è formato da due numeri triangolari adiacenti (Rosso + Giallo)

Dalle immagini risulta facile dedurre la seguente regola:
	I quadrati si possono ottenere dalla successione dei numeri dispari.

LA RADICE QUADRATA

DA QUELLO CHE ABBIAMO FINORA DETTO SUI QUADRATI RISULTA CHE:

1) Ogni quadrato risulta formato da tanti numeri dispari quanto è il valore della sua radice.
2) Il numero mediano è la radice.
3) Il medio è la radice.

Un programma che conta quanti numeri dispari formano un quadrato ne calcola la RADICE QUADRATA

NB: si noti che questo programma è una trasformazione di
quello precedente che serviva a calcolare i quadrati.
STIAMO ANCORA USANDO IL METODO DELLE DIFFERENZE ?